7 Important Power, Indices and Surds Questions and Answers with tricks -

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Power, Indices and Surds Questions and Answers से competitive exam में कई सारे जरुरी सवाल पूछे जाते है। इन सवालों को हल करने के लिए कुछ विशेष तरीके व ट्रिक्स का इस्तेमाल किया जाता है।

नीचे दिए गए 10 Power, Indices and Surds Questions Answers से इन सवालों को हल करने के तरीके को सीखें।

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Table of Contents

Power, Indices and Surds Questions and Answers

नीचे 7 घात, घातांक एवं करणी के महत्वपूर्ण सवाल है। यह सवाल कई परीक्षाओं में पूछे जा चुके है। इनके हल करने के चरण को ध्यान से समझे। यदि सवाल को समझने में कोई परेशानी होती है तो message करें।

Question No.1) यदि 3^x-1 + 3^x+1 = 90 तो x का मान ज्ञात करें।
(If 3^x-1 + 3^x+1 = 90 then find the value of x.)

Answer: दिया है,
3^x-1 + 3^x+1 = 90
3^x . 3^-1 + 3^x . 3¹ = 90
3^x को Common लेने पर-
3^x (3^-1 + 3) = 90
$$ 3^x \left( \frac{1}{3} + 3 \right) = 90 $$
$$ \frac{3^x (1 + 9)}{3} = 90 $$
$$ \frac{3^x \cdot 10}{3} = 90 $$
3^x . 10 = 90×3
3^x . 10= 270
3^x = 27
3^x = 3³
x = 3

Answer: X = 3

Question No.2) $$ x^{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^x $$ हो तो x का मान ज्ञात करें।
(If $$ x^{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^x $$ then find the value of x.)

Answer: दिया है,
$$ x^{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^x $$

$$ x^{x^{\frac{3}{2}}} = x^{\frac{3x}{2}} $$

Base समान है तो घात बराबर होगी। अतः

$$ x^{\frac{3}{2}} = \frac{3x}{2} $$

$$x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-1} = \frac{3}{2}$$

$$x^{\frac{3}{2} – 1} = \frac{3}{2}$$

$$ x^{\frac{3-2}{2}} = \frac{3}{2} $$

$$ x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} $$
दोनों ओर वर्ग करने पर-
$$ x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$
अतः Answer: $$ x = \frac{9}{4} $$

Question No.3) यदि $$2^{2^x} = 16^{2^{3x}}$$ तो x का मान बताइए।
If $$2^{2^x} = 16^{2^{3x}}$$then find the value of x.

Answer: हम जानते है, 16 = 2⁴ यह मान प्रश्न में रखने पर-

$$2^{2^x} = 2^{4 \cdot 2^{3x}}$$
$$ 2^{2^x} = 2^{(2^2 \times 2^{3x})} $$
Base समान है इसलिए आपस में बराबर होगी।
2^x = 2² × 2^3x
2^x = 2^3x+2
x = 3x+2
2x = -2

Answer: x= -1

Question No.4) $$
\left( \frac{9}{4} \right)^x \cdot \left( \frac{8}{27} \right)^{x-1} = \frac{2}{3}
$$ Find the value of x.

Answer: $$
\left( \frac{3^2}{2^2} \right)^x \cdot \left( \frac{2^3}{3^3} \right)^{x-1} = \frac{2}{3}
$$

$$
\left( \frac{3}{2} \right)^{2x} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3x – 3} = \frac{2}{3}
$$

$$
\left( \frac{2}{3} \right)^{-2x} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3x – 3} = \left( \frac{2}{3} \right)^1
$$

$$
\left( \frac{2}{3} \right)^{-2x + 3x – 3} = \left( \frac{2}{3} \right)^1
$$

$$
\left( \frac{2}{3} \right)^{x – 3} = \left( \frac{2}{3} \right)^1
$$

$$
x – 3 = 1 \Rightarrow x = 4
$$

Answer: x=4

Question 5: If 3.7^x = 0.037^y = 10000 then find the value of $$ \frac{1}{x} – \frac{1}{y} $$

Answer: 3.7^x = 10⁴
3.7 = 10^4/x ……. Equation 1

0.037^y = 10⁴
0.037 = 10^4/y
3.7 × 10^-2 = 10^4/y
3.7 = 10^4/y × 10²
3.7 = 10 ^(4/y)+2 …….. Equation 2

Equation 1 and Equation 2 are equal. so,

10^4/x = 10 ^(4/y)+2
Base समान है इसलिए घात बराबर होगी।

$$ \frac{4}{x} = \frac{4}{y} + 2 $$
$$ 4\left(\frac{1}{x} – \frac{1}{y}\right) = +2 $$
Answer: $$ \frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{2} $$

Question 6.) $$ \textbf{Question 1:} \
\text{If } 3^{x+1} = 81, \text{ then find the value of } x. $$

3^x . 3¹ = 3⁴
3^x = 3⁴ . 3^-1
3^x = 3³
Answer: x= 3

Question 7.) $$ \
\text{If } 2^x \cdot 2^{x+1} = 32 $$. then find the value of x.

2^x × 2^x × 2¹ = 2⁵
2^2x = 2⁵ × 2^-1
2^2x = 2⁴
2x = 4

Answer: x = 2

Power, Indices and Surds Tricks & Shortcuts

गुणा Trick $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

भाग Trick $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

घात Trick $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

शून्य Trick $$a^0 = 1 \quad (\text{for } a \neq 0)$$

ऋणात्मक Trick $$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$

भिन्न Trick $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$

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