किसी संख्या को भाग करके शेषफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक संख्या के लिए अलग-अलग ट्रिक तथा फॉर्मूला होते है। इस आर्टिकल में संख्या को भाग करके शेषफल कैसे निकालते हैं, इस प्रक्रिया को बेहतरीन ढंग से बताया गया है।
शेषफल की परिभाषा | शेषफल किसे कहते हैं?
किसी संख्या को भाग देने की प्रक्रिया में भाज्य (संख्या) का वह छोटा भाग जो भाजक से पूर्ण विभाजित नही हो पाता है तथा बच जाता है उसे शेषफल कहते है। यही शेषफल की परिभाषा भी है।
गणित में शेषफल का अर्थ भाज्य को भाग करने में बची हुई संख्या से होता है।
उदाहरण: 7 को 2 से भाग करने में 1 शेषफल बचता है क्योंकि 1 2 छोटा है और 2 के टेबल में नहीं आता है।
किसी संख्या के लिए निम्न संबंध होता है-
भाज्य = (भागफल × भाजक) + शेषफल
शेषफल का सूत्र
किसी संख्या के भाज्य में से भागफल और भाजक का गुणनफल घटाने पर शेषफल प्राप्त होता है। इस प्रकार शेषफल का सूत्र-
शेषफल = भाज्य – (भागफल × भाजक)
शेषफल कैसे निकालते हैं क्रमानुसार प्रक्रिया
किसी संख्या को भाग करके शेषफल निकालना एक क्रमानुसार प्रक्रिया है। जिसमें चार मुख्य पद भाजक (Divisor), भाज्य (Dividend), भागफल (Quotient) तथा शेषफल (Remainder) होते है। निम्न प्रकार संख्या का शेषफल ज्ञात करें –
- भाज्य संख्या को भागफल ब्रैकेट में बंद करे और भाजक से विभाजित करे।
- संख्या को भाजक से तब तक विभाजित करते रहे जब तक भाजक से छोटी संख्या न प्राप्त हो जाए।
- इसके बाद ऐसी संख्या प्राप्त होती है जो भाजक से अधिक विभाजित नही होती है और इस प्रकार ही शेषफल निकलता है।
शेषफल निकालने की प्रक्रिया को हम उदाहरण की मदद से समझते है-
उदाहरण: संख्या 742 को 3 से भाग करना है। संख्या 742 को भाज्य (Dividend) कहते है। 742 को 3 से भाग करना है अतः 3 को भाजक (Divisor) कहते है। 742 को 3 से भाग करने पर 247 भागफल प्राप्त होता है तथा 1 शेषफल बचता है।
इस प्रक्रिया से पता चलता है कि भागफल 247 में भाजक 3 से गुणा करके शेषफल 1 जोड़ने पर भाज्य (संख्या) 742 प्राप्त होती है।
742 = (247 × 3) + 1
भाज्य = (भागफल × भाजक) + शेषफल
Dividend = Quotient × Divisor + Remainder
इससे यदि शेषफल का सूत्र निकाले तो-
शेषफल = भाज्य – (भागफल × भाजक)
इस सूत्र से यदि भागफल का सूत्र ज्ञात करे तो भागफल का सूत्र=
भागफल = (भाज्य – शेषफल) / भाजक
ऋणात्मक शेषफल (Negative Remainder): किसी संख्या को भाजक से भाग करने पर संख्या पूर्ण विभाजित होने में जितना कम होती है उसे ऋणात्मक शेषफल कहते है।
धनात्मक शेषफल + ऋणात्मक शेषफल = भाजक
धनात्मक शेषफल को भाजक से घटाने पर ऋणात्मक शेषफल प्राप्त होता है। उदाहरण: प्रश्न में 742 को 3 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल 1 को भाजक 3 से घटाने पर ऋणात्मक शेषफल -2 प्राप्त होता है।
विभिन्न संख्याओं से भाग करके शेषफल निकालने का सूत्र
2 से भाग करने पर शेषफल का सूत्र व ट्रिक
किसी संख्या के इकाई अंक को 2 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 643197 में 7 को 2 से भाग करने पर 1 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संपूर्ण संख्या को 2 से भाग करे तब भी 1 शेषफल ही प्राप्त होता है।
3 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
किसी संख्या के अंको के योग को 3 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 8456912 में अंको का योग 8+4+5+6+9+1+2= 35 को 3 से भाग करने पर 2 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संपूर्ण संख्या को 3 से भाग करे तब भी 2 शेषफल ही प्राप्त होता है।
4 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के अंतिम दो अंको को 4 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 3461 के अंतिम दो अंक 61 को 4 से भाग करने पर 1 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संपूर्ण संख्या 3461 को 4 से भाग करे तब भी 1 शेषफल ही प्राप्त होता है।
5 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के इकाई अंक को 5 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
1249 के इकाई अंक 9 को 5 से भाग करने पर 4 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संपूर्ण संख्या 1249 को 4 से भाग करे तब भी 4 शेषफल ही प्राप्त होता है।
7 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
दाएं से संख्या के अंको के तीन के समूह बनाने के बाद एक समूह को दूसरे समूह से घटाने पर प्राप्त संख्या को 7 से भाग करने पर शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
256497 में दाएं से एक तीन अंको का समूह 497 तथा 256 है। इसे घटाने पर 497-256 = 241 प्राप्त होता है। 241 को 7 से भाग करने पर 3 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संपूर्ण संख्या 256497 को 7 से भाग करे तो भी 3 शेषफल प्राप्त होता है।
8 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के दाएं ओर के तीन अंको को 8 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 36451 के अंतिम तीन अंक 451 को 8 से भाग करे तो 3 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संपूर्ण संख्या को 8 से भाग करे तो भी यही शेषफल प्राप्त होता है।
9 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के अंको के योग को 9 से भाग करने से प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 2543 के अंको का योग 2+5+4+3= 14 है। 14 को 9 से भाग करने पर 5 शेषफल प्राप्त होता है। यदि संख्या 2543 को 9 से भाग करे तो भी 5 शेषफल प्राप्त होता है।
10 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के इकाई अंक को 10 से भाग करने पर शेषफल संपूर्ण संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 1254 में इकाई अंक 4 को 10 से भाग करने 4 शेषफल प्राप्त होता है जो संपूर्ण संख्या का शेषफल होता है।
11 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
बाएं ओर से संख्या के विषम स्थान पर अंको के योग – संख्या के सम अंको का योग = उत्तर को 11 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है। उदाहरण-
संख्या 364592 में विषम स्थान पर अंक 3, 4, 9 है तथा सम स्थान पर अंक 6, 5, 7 है। इस प्रकार (3+4+9) – (6+5+2) / 11 करने पर शेषफल = 3 आता है। अतः संपूर्ण संख्या 364592 को 11 से भाग करने पर भी शेषफल 3 ही आएगा।
2⁴ या 16 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के दाएं ओर के चार अंको को 16 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है।
2⁵ या 32 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के दाएं ओर के पांच अंको को 32 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है।
Note: इसी प्रकार अन्य 2 की घात बढ़ने पर शेषफल ज्ञात किया जा सकता है।
5² या 25 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के दाएं ओर के दो अंको को 25 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है।
5³ या 125 से भाग करने पर शेषफल सूत्र व ट्रिक
संख्या के दाएं ओर के दो अंको को 25 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या का शेषफल होता है।
Note: इसी प्रकार अन्य 5 की घात संख्याओं के लिए शेषफल ज्ञात किया जा सकता है।
शेषफल पर आधारित प्रश्न
Q1: 65 को 3 से भाग करने पर शेषफल क्या होगा?
संख्या के अंको का योग= 6+5= 11
11/3= 2 शेषफल या -1 ऋणात्मक शेषफल
ऋणात्मक शेषफल= 2-3 = -1 आता है।
Q2: 132 को 5 से भाग करने पर शेषफल क्या होगा?
अंतिम अंक 2 को 5 से भाग करने पर 2 शेषफल प्राप्त होता है। यही संख्या का शेषफल है। यदि शेषफल को ऋणात्मक शेषफल में बदले तो 2-5= -3 ऋणात्मक शेषफल प्राप्त होता है।
Note: यदि हम भाजक तथा भाज्य को simplify करते है तो शेषफल बदल जाता है। सही शेषफल प्राप्त करने के लिए अंतिम शेषफल में उसी संख्या से गुणा करे जिससे simplify किया गया है।
Imp Q3: 180 को 35 से भाग करने पर शेषफल क्या होगा?
180/35 को 5 से simplify करने पर 36/7 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है।
लेकिन यह सही शेषफल नही है। सही शेषफल प्राप्त करने के लिए हमे जिस संख्या से simplify किया था उससे गुणा करना होता है।
प्रश्न में 5 से simplify किया है। अतः सही शेषफल 1 × 5 = 5 शेषफल प्राप्त होता है। अतः 180 को 35 से भाग करने पर 5 शेषफल प्राप्त होता हैं।
Q4: 80+50 को 3 से भाग करने पर शेषफल क्या होगा?
80 को 3 से भाग करने पर 2 शेषफल तथा 50 को 3 से भाग करने पर 2 शेषफल प्राप्त होता है। शेषफल को शॉर्ट में rem लिखते है।
= (80 + 50) / 3
= (2 rem + 2 rem) / 3
= 4 rem / 3
= 1 rem प्राप्त होता है।
Q5: 158 × 168 × 1726 × 344 × 992 को 5 से भाग करने पर शेषफल क्या होगा?
सभी संख्या 158, 168, 1726, 344, 992 के अंतिम अंक को 5 से भाग करके शेषफल प्राप्त करेंगे।
= (158 × 168 × 1726 × 344 × 992) / 5
= (3 rem × 3 rem × 1 rem × 4 rem × 2 rem) / 5
= (9 rem × 4 rem × 3 rem) / 5
= (108 rem) / 5
= 3 rem या शेषफल प्राप्त होता है।
शेषफल आधारित प्रश्न कई प्रकार से पूछे जाते है। इस आर्टिकल में शेषफल से संबंधित जरूरी जानकारी तथा इससे संबंधित प्रश्न बताए गए है।
कई सारे शेषफल आधारित प्रश्न को हल करने का तरीका तथा प्रश्न उत्तर जानने के लिए- Click Here
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FAQ (Frequently Asked Questions)
1 से 100 तक कुल कितनी अभाज्य संख्या है?
1 से 100 तक कुल 25 अभाज्य संख्या होती है। इन अभाज्य संख्या का मान 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73, 79, 83, 89, 97 होता है।
किसी संख्या को 3 से भाग देने पर शेषफल क्या हो सकता है?
संख्या के अंको के योग को 3 से भाग करने पर प्राप्त शेषफल संख्या को 3 से भाग देने पर शेषफल होता है।
भागफल का मतलब क्या होता है?
भाज्य को भाजक द्वारा विभाजित करने में भाज्य जितनी बार में विभाजित होता है उसे भागफल कहते है। भागफल का सूत्र: भागफल = (भाज्य – शेषफल) / भाजक होता है।
17 को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
17 को 18 से भाग देने पर शेषफल 17 ही प्राप्त होता है क्योंकि 17 संख्या 18 से छोटी है और अधिक विभाजित नही हो सकती है। इसलिए 17 को 18 से भाग देने पर शेषफल 17 प्राप्त होता है।
360 के भाजकों की संख्या क्या है?
360 के भाजकों की संख्या 25 होती है। 360 के भाजक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360, 360 होते है इनकी कुल संख्या 25 है।
भाजक और शेषफल में क्या संबंध है?
किसी संख्या में भाज्य = (भागफल × भाजक) + शेषफल होता है। यही संबंध किसी संख्या में भाजक और शेषफल में संबंध होता है।
किसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या हो सकता है?
किसी भी संख्या के इकाई अंक को 5 से भाग करने से प्राप्त शेषफल संपूर्ण संख्या का शेषफल होता है।